Pattern Project

9. 11. 2006

Prof. Dr. Helmut Neunzert – Vortrag

„Denn das Schöne ist nichts als des Schrecklichen Anfang“ (Rilke)

Anmerkungen zu Symmetrie und zu Symmetriebrüchen in Kognition und Ästhetik

Das – besser – die Themen der Ausstellung und des Symposiums: „Pattern Project – Ornament, Spiegel subatomarer Welten“, wie auch die Texte des Flyers, machen eine Annäherung nicht einfach. Als Gertrud Schrenk mir davon erzählte, kam ich mir vor wie der Fuchs in einer Fabel des Aesop. Da sitzt ein kranker Löwe in einer Höhle, an der der Fuchs vorbei kommt. „Warum kommst du nicht herein?“ fragt der Löwe. Darauf der Fuchs: „Ich träte schon ein, wenn ich nicht sähe, dass viele Spuren hinein führen, aber keine hinaus.“

Viele Spuren führen zu dem Thema hin, viele Künstler. Natur- und Geisteswissenschaftler versuchen sich daran, wie dieses Symposium eindrucksvoll belegt, aber ob wir es wirklich verstehen, ob sehr viel „herauskommt“, ist mir zumindest zweifelhaft. Es bleiben deshalb auch für mich, den „praktischen“ Mathematiker, nur kurze Anmerkungen, Spuren aus der Höhle, die auch vermutlich bald im Sand verwehen.

01-alhambraWie kommt überhaupt ein Mathematiker dazu, zum Thema „Ornament“ etwas zu sagen? Ornament hat ja viel mit „Muster“, „Symmetrie“, „Regelhaftigkeit“ zu tun – Sie sehen das auch an den Vorträgen. Und Symmetrien sind mathematische Konzepte seit vielen hundert Jahren. Über diese könnte man einen Vortrag für sich halten – in dieser Woche hält ein Freund und Berufskollege gerade einen solchen und zeigt dazu nur Bilder aus der Alhambra. Mein Lehrer Claus Müller in Aachen, heute 86, hielt vor 30 Jahren in der Düsseldorfer Akademie einen Vortrag: „Symmetrie und Ornament – eine Analyse mathematischer Strukturen der darstellenden Kunst“, in dem er hauptsächlich orientalische Muster untersuchte.

In der Zwischenzeit kam – in der Mathematik, aber auch in den Lebenswissenschaften – eine andere Art von Regelhaftigkeit, von Muster auf, die nicht den klassischen Symmetrievorstellungen entsprach: Die sogenannte fraktale Geometrie, die heute schon in den Lehrplänen von BW steht und die etwa in solchen Strukturen zu finden ist:

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Der deutsche Mathematiker H.O. Peitgen, der 1986 das Buch „The Beauty of Fractals“ herausgab, widmet sich heute hauptsächlich der Struktur der Leber.

06-leberKein Zufall, wenn man die Bilder sieht.

Sehr nahe bei dem Begriff Fraktal ist auch das „Chaos“. Dabei handelt es sich um Phänomene, die kaum vorhersehbar scheinen. Im Lorentz-Attraktor


springt der Lichtpunkt scheinbar gesetzlos, „chaotisch“ von einem Einzugsbereich zum andern.

Dabei enthalten diese Bilder – fraktale wie chaotische – 2 einfache und wichtige Botschaften:

  • a) Hinter sehr komplexen, chaotisch regellos wirkenden Erscheinungen stecken oft sehr einfache mathematische Gesetze und
  • b) kleine Ursachen können große Wirkungen haben.

Schauen Sie sich noch einmal ein Bild aus „Beauty of Fractals“ an:

08-fraktale-4Auch dahinter steht ein einfaches mathematisches Gesetz (Ich will es Ihnen aber trotzdem nicht erklären, es ist „relativ“ einfach.) wie hinter dem Lorentzattraktor.

Die zweite Botschaft, die sich am Attraktor noch besser erklären lässt, dass nämlich kleine Änderungen z.B. am Startpunkt große Änderungen im zeitlichen Verlauf des Lichtpunktes z.B. in den Sprungzeitpunkten nach sich zieht, diese Botschaft kennen Sie auch aus der Reihe „Du bist Deutschland“. Dort sagt Frau Maischberger: „Der Flügelschlag eines Schmetterlings kann einen Hurrikan auslösen“ – kleine Ursache oder besser kleine Veränderung der Ursache erzeugt große Veränderung der Wirkung.

Diese Begriffe, Fraktal und Chaos, haben das Interesse in den vergangenen 20 Jahren mehr angezogen als die deutlich regelmäßigen Ornamente. Auch die Experimente von Volkhard Stürzbecher, die Sie am Eröffnungstage dieser Ausstellung bewundern konnten, passen in dieses Umfeld, denn sie zeigen, wie einfache physikalische Prozesse komplexe Strukturen hervorbringen. Sie wirken ja auch schön, vielleicht wie diese Bilder aus dem Buch „Schönheit der Fraktale“.

Aber jetzt sind wir, glaube ich, in einen Begriffssalat geraten: Chaos versus Ordnung, Regellosigkeit versus Gesetzmäßigkeit, Schönheit, Ornament.

Lassen Sie uns ein wenig innehalten und Begriffe klären. Ich möchte mit einem ganz grundlegenden Begriff – grundlegend in Wissenschaft und Kunst – beginnen, dem Begriff des Verstehens. Denken Sie ruhig ganz einfach: Verstehen wir die Bilder, die Sie sahen; den Lorentz-Attraktor, verstehen wir die Prozesse von Volkhard Stürzbecher usw.?

Verstehen meint in der Wissenschaft, etwas vorhersagen zu können. Wir verstehen ein naturwissenschaftliches, technisches, soziales, ökonomisches oder ökologisches System – Stürzbechers Mischungen, ein Flugzeug, das Wahlverhalten, das Verhalten einer Währung oder des Klimas – wir verstehen diese Systeme, wenn wir sie vorhersagen können, wenn wir wissen, wie sie auf gewisse Einflüsse reagieren, wie sie sich in der Zukunft verhalten werden. Zum Vorhersagen benötigt man Gesetze – und diese Gesetze sind meist in mathematischer Form aufgeschrieben. Wenn man diese Gesetze – physikalische, biologische, ökonomische, soziologische Gesetze in Form von Gleichungen oder Relationen – dann für konkrete Gegebenheiten auswertet, sie löst, z.B. mittels Computer, führt dies zu Vorhersagen.

09-fraunhofer-gebaeudeGenau dies zu tun, z.B. bei der Konstruktion von Filtern in künstlichen Nieren, zur Optimierung von Produktionsanlagen, in der optimalen Ausbeutung von Rohedelsteinen aus Idar-Oberstein oder bei der Vorhersage des Ergebnisses von Metallgussprozessen, ist die Aufgabe des Fraunhofer-Instituts ITWM in Kaiserslautern, von dem ich komme.

Es ist auch ein schönes Gebäude – und es enthält auch ein Kunstobjekt mit interessanten Symmetrien, die es bei Wind z.T. aufgibt, die also der Wind „bricht“ – aber die Arbeit des Instituts ist nicht unser Thema.

Wie ist es mit dem Verstehen eines Kunstwerks, eines Bildes, einer musikalischen Komposition? Da kann man sicher nicht von Vorhersage sprechen. – Vielleicht müssen wir noch einen Schritt zurück gehen und die Prozesse im Gehirn, die kognitiven Prozesse ansehen. Hat die Art und Weise, wie unser Gehirn Farben, Formen, Melodien speichert and verarbeitet etwas zu tun mit dem, was wir verstehen oder gar als schön empfinden?

Ich will Ihnen von einem Gast unseres mathematischen Fachbereichs in Kaiserslautern, der von der Rutgers- University in New York vor einem Vierteljahr für ein paar Tage zu uns kam, erzählen. Er ist von Haus aus Mathematiker, war ein Wunderkind in Israel, das mit 12 Jahren Abitur machte, dann nach USA auswanderte und Bücher schrieb, ehe es nach 3 Jahren Studium seinen Doktor in Mathematik und später in Psychologie machte und mit 30 eine Professur für Mathematik im Fachbereich Psychologie der Rutgers- University annahm. Er hat wirklich sehr originelle Ideen, von denen er allerdings glaubt, dass er damit alle relevanten Fragen von der Physik bis zur Medizin beantworten kann. Das hat ihm mehr Feinde als Freunde eingebracht. Michael Leyton ist heute noch ein sehr bekannter, aber etwas isolierter Wissenschaftler. Eine seiner Ideen will ich aber versuchen, für unsere Frage zu nützen.

Wie speichert unser Gehirn Formen, wie erinnern wir uns an Bilder, Formen? Natürlich liegen dem Gedächtnis sehr komplexe Prozesse im Gehirn, offenbar im Hippocampus zugrunde. Der Nobelpreisträger von 2000, Eric Kandel, beschreibt diese in seinem Buch „Auf der Suche nach dem Gedächtnis“ – ich kann sie unmöglich wiedergeben. Was man da so genau speichert, wurde mir aber nicht klar. Vielleicht verstehe ich es, wenn ich verstehe, wie man in einem Computer Bilder speichert? Wie merken wir uns denn die Form eines Autos? Wie speichert die Entwicklungsabteilung einer Autofirma die neue Form ihres geplanten Modells? Sie legt ein Netz aus Dreiecken darüber, sie trianguliert die Form, wobei die Dreiecke so gewählt sind, dass in ihrem Innern die Form wenig von einer Ebene abweicht.

10-auto

Sie können statt Dreiecken andere einfache Polyeder nehmen, statt Ebenen stückweise andere Standardflächen: Immer benötigen Sie mehrere 1000 Elemente, viele 1000 Zahlen. Das kann unser Gedächtnis nicht. Das braucht es offenbar auch nicht.

Oder schauen Sie sich an, wie unser Institut in einem Projekt mit einer Idar-Obersteiner Edelsteinschleiferei die Form des Rohedelsteins speichert:

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Da kann man Streifen darauf projizieren, man kann eine Punktwolke zeichnen, die das Innere ausfüllt oder eben wieder „triangulieren“.

12-edelstein-s.jpg Objektdaten
Größe 14,3×17,4×18,8 mm
fünf Einzelansichten
215 000 Messpunkte
43 000 Dreiecksmaschen

Hier braucht man 43000 Dreiecke – so geht das im Gehirn nicht. Das sind zu viele Daten – da muss Datenreduktion her.

Leytons Idee: Man, das heißt das Gehirn, macht sich eine „naheliegende Idealfigur“. So ist z.B. die Erde „fast“ eine Kugel – diese Kugel ist also die einfachste Idealfigur, die von der wahren Gestalt hier oder dort abweicht. Etwas „weniger ideal“, dafür aber näher dran ist ein abgeflachtes Ellipsoid, noch unregelmäßiger aber besser ist eine Kartoffel, ein Geoid, dessen Dellen und Höker man sich grob merken kann.

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Was heißt hier ideal and welche Abweichungen von der Idealform merkt man sich? Um das zu verstehen – und jetzt sind wir endlich beim Thema des Symposiums – schauen wir uns ein Parallelogramm an.
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Es ist ein Quadrat, das man auseinanderzieht und dann „quetscht“ oder besser „schert“.

Die Idealform, von der man ausgeht, aus der man die zu speichernde Form durch schrittweise einfache Verformungen herstellt, ist das Quadrat. Es ist besonders ideal, weil es besonders symmetrisch ist. Noch symmetrischer wäre ein Kreis oder, im Dreidimensionalen wie bei der Erde, eine Kugel.

Symmetrie meint, dass sich die Figur bei gewissen Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen nicht ändert. Je mehr dieser Transformationen die Figur unverändert lassen, desto symmetrischer ist sie. Eine Kugel bleibt dieselbe, wie auch immer man sie um den Mittelpunkt dreht. Das Ellipsoid kann nur noch um die NS-Achse gedreht werden, die Kartoffel gar nicht mehr. Symmetrie = Invarianz gegenüber gewissen Bewegungen oder Transformationen.

Also: Je mehr Invarianz, desto symmetrischer. Sehr symmetrische Figuren – Kugeln, Quadrate etc. – sind ideale „Idealfiguren“, leicht zu merken. Man braucht ja auch im Computer weniger Daten, (Mittelpunkt + Radius beim Kreis, Mittelpunkt, Richtung und Kantenlänge beim Quadrat) um diese Idealfiguren zu speichern – so wie besonders symmetrische Gesetze wenige freie Parameter haben.

Aber es gelingt sicher nicht, sich nur die Idealfigur zu merken – man muss auch noch einige Abweichungen dazu nehmen. Schrittweise mehr und mehr – bis man nahe genug an der realen Figur dran ist. Erst die Streckung, dann die Scherung – bis man das Parallelogramm hat; erst die Abflachung, dann die Dellen – bis man so in etwa das Geoid hat. Wie genau man die Realfigur annähern muss, hängt davon ab, was man mit diesem geistigen Abbild will, wie vielfältig andere Figuren sind, von denen ich die gegebene unterscheiden will. Oder was ich mit diesem Abbild tun möchte. Und natürlich hängt es auch davon ab, wie viele Abweichungen ich mir merke. Abweichung ist hier Abweichung von der Symmetrie, ist also Symmetriebruch. Wie viele Symmetriebrüche wir benötigen, um eine reale Figur hinreichend anzunähern, wie viele Symmetriebrüche wir in unserem Gedächtnis speichern können – dies bestimmt nach Leyton den kognitiven Prozess der räumlichen „Mustererkennung“. Diese Brüche speichert man sukzessiv, einen nach dem anderen. Leyton hat dies mit vielen Jugendlichen experimentell bestätigt; ich bin nicht sicher, ob es genau so stimmt. Aber es ist ein interessantes Denkmodell.

Wenn man sich moderne Verfahren zur Speicherung und Verschickung von Photographien im Rechner anschaut, die neuesten JPG-Verfahren, so tun sie genau dies:

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Es wird eine Urform übertragen, eine Form, die wir erkennen würden, wenn wir das Photo von ganz weit weg betrachten; und dann überträgt man, Schritt für Schritt – wobei wir uns durchaus vorstellen können, dass wir uns Schritt für Schritt dem Photo nähern – man überträgt mehr und mehr Details, Einzelheiten, in denen die wahre Figur von der Urform abweicht. Es ist genau dieselbe Idee: Das einfachste symmetrische Muster zuerst und dann Schritt für Schritt Symmetriebrüche.

Wo kommt nun die Schönheit ins Spiel? Schon das Schlüsselwort des Symposiums „Ornament“ deutet darauf hin: Über die Symmetrie!

Vermutlich halten wir zunächst besonders symmetrische Formen für schön.

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Diese Steinzeitkörper sind sehr nahe an den 5 platonischen Körpern, die immer als besonders einfach und symmetrisch galten (und natürlich schon vor Platon bekannt waren). Zu einfach darf es auch nicht sein – sonst wird es langweilig. Wer schaut schon gerne einen Kreis an? (Obwohl: Das Symmetrischste ist sicher eine weiße oder jedenfalls einfarbige Fläche – und auch das sieht man in Ausstellungen. Vielleicht, um zum Nachdenken darüber anzuregen?) Ein bisschen Raffinesse, ein wenig Symmetriebruch sollte schon sein, um das Muster interessant zu machen. Oder wenigstens komisch:

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Oder wenn es „unnatürlich symmetrisch“ wird, wie oft bei Magritte:

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Wie viel Symmetrie und wie viel Symmetriebrüche vertragen wir?

Wenn gar kein Muster zu erkennen ist, verlieren wir uns vielleicht in dem Bild. Irgendwie versuchen wir es zu verstehen im Leytonschen Sinn, eine Idealform zu finden und die Abweichungen zu erkennen. Wir müssen den Weg zurückverfolgen – vom Realbild zum Ideal:
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Wird die Komplexität, die Menge der Symmetriebrüche zu groß, so kann man den Weg nicht zurückverfolgen. Man muss etwas wiedererkennen können – aber dann Überraschungen erleben. Kunst, so meint Leyton, ist größtmögliche noch verständliche Komplexität. Mir leuchtet das ein, z.B. in der Musik: Ich muss die Melodie, die Harmonien oder den Rhythmus „erkennen“, vorausahnen oder sogar voraussingen können – und dann überrascht werden von nicht erwarteten Melodieverläufen oder Harmonien, um Musik als schön zu empfinden. Nur Überraschungen machen wenig Freude, keine Überraschungen, das ist langweilig. Das alles hängt natürlich vom Hörer ab – es gibt sicher Menschen, die auch bei Stockhausen oder Nono etwas wiedererkennen, und es gibt sicher andere, die eine Schlagermelodie überrascht.

Ich hoffe, Sie folgen mir in dem Kerngedanken: Schönheit entsteht, wenn wir einfach verständliche Grundmuster, etwa Symmetrien so weit stören wie wir es gerade noch ertragen. Vielleicht ist dies eine mögliche Interpretation der, ansonsten für mich schwer verständlichen Zeilen aus der ersten Duineser Elegie von Rilke, die mir bei einem einmonatigen Aufenthalt im ICTP in Trieste, während ich in der Nähe von Duino wohnte, sehr ans Herz gewachsen sind:

Wer, wenn ich schriee, hörte mich denn aus der Engel Ordnungen?
und gesetzt selbst, es nähme einer mich plötzlich ans Herz:
ich verginge von seinem stärkeren Dasein.
Denn das Schöne ist nichts als des Schrecklichen Anfang,
den wir noch grade ertragen,
und wir bewundern es so, weil es gelassen verschmäht,
uns zu zerstören.

Unordnung, zu viele Brüche, zu viel Chaos zerstört uns, darum bewundern wir das Schöne, weil es nur erträglich viel Unordnung in sich birgt und es darum verschmäht, uns zu zerstören.

Ich bin kein Gedichtinterpret sondern Mathematiker, der überall, auch in scheinbarem Chaos, einfache mathematische Gesetze, deutbare Muster sucht.

Lassen Sie uns zum Schluss noch einige wenige Beispiele ansehen. Zunächst aus Leyton die Verwandlung einer symmetrischen Figur, eines Kreises in einen Tropfen, ein „Paisley“.

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Er findet diese Muster dann in einem Gemälde von Picasso wieder.

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Ein schöner Symmetriebruch, auch aus dem Katalog zur Darmstädter „Symmetrie“ des Jahres 1986:

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Die zwei „gebrochenen“ Symmetrien der Translation und der Spiegelung deuten laut Hodler auf die Gleichwertigkeit der Menschen und zugleich auf ihre religiöse Überhöhung hin. Wie viel Symmetrie man will, hängt sicher von der Kultur ab, in der man lebt.

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Diese Suche nach Mustern steckt aber in allen Menschen, sie hat nichts mit bestimmten Kulturen zu tun. In einer FAS des letzten Jahres findet sich ein Bericht über einen sehr abgeschieden lebenden brasilianischen Volksstamm. Dieser benützt insbesondere in der Körperbemalung viel Geometrie, einfache Symmetrien; man verträgt dort wenig Unordnung.

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Die Interpretation in der Zeitung: „Rote und schwarze geometrische Muster in der Körperbemalung sind häufig Stellvertreter für komplexe Ideen und Weltvorstellungen“.

Auch wissenschaftliche Theorien sind Stellvertreter für Weltvorstellungen – auch sie enthalten Symmetrien und Symmetriebrüche; letztlich wollen wir alle, Wissenschaftler und Künstler, die Welt verstehen. Aber wir verfolgen dabei verschiedene Wege.

Wissenschaft, ein Kind der Aufklärung, entzaubert die Welt – die Kunst verzaubert sie. Man muss beide Wege gehen, um in der Welt heimisch zu werden.

Helmut Neunzert, Oktober 2006